03.03.2007
|
Интеграл
|
Что такое интеграл?
Вопрос неоднозначный, и ответить на него не так просто как кажется.
Поэтому разберемся для начала с формальностями.
Когда мы говорим «интеграл», то понимаем некоторое действие над функцией. То есть основным объектом, как и в случае с производной, выступает функция. Функцию можно проинтегрировать, иначе, найти от нее интеграл. Для производной был использован аналог – скорость изменения функции. Попытаемся найти подходящую ассоциацию и для интеграла. Для этого забудем на минутку про интегралы и рассмотрим уже известный нам объект - функцию.
Предположим, мы работаем с функцией
y=f(x), f(x)=x
или
y(x)=x.
Построим ее график
Найдем площадь треугольника, ограниченного графиком функции, осью OX и прямой x=1:
S=(1*1)/2=1/2 – половина площади соответствующего квадрата.
Далее, найдем площадь треугольника, ограниченного графиком функции, осью OX и прямой x=2:
S=(2*2)/2=4/2=2.
Если изменить прямую x=2 на x=3, то получим площадь
S=(3*3)/2=9/2=4,5.
А что будет, если взять x=4?
Попробуем вычислить общую закономерность. В каждом случае площадь менялась в зависимости от выбранного значения x, тогда можно площадь представить в виде функции от x:
S(1)= (1*1)/2=12/2,
S(2)= (2*2)/2=22/2,
S(3)= (3*3)/2=32/2.
После недолгих размышлений записываем
S(x)= (x*x)/2=x2/2.
Эта формула позволяет вычислить площадь треугольника для любого значения x. В частности, S(4)= (4*4)/2=42/2=8.
Что же в итоге получилось? Найдена функция, которая отображает изменение площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью OX, на промежутке от x1=0 до x2=x, то есть на промежутке от нуля до аргумента функции. Если говорить строго, то эта функция является первообразной для нашей исходной функции. А если не строго, то является интегралом.
Таким образом, на данном этапе важно запомнить, что «интеграл» - это площадь подинтегральной функции. А с формальностями еще успеем разобраться в следующих статьях!
Производная - часть 1
Производная - часть 2
|
|
Добавить в избранное
RSS-подписка на Блог
