|
|
Новое в блоге
|
|
Посуда для ресторанов одесса посуда для кафе и ресторанов нева металл посуда.
стальные двери Чехов
|
|
|
|
 Математика
|
20.01.2007
|
Производная
|
Первый вопрос, возникающий при рассмотрении производной: с каким объектом мы имеем дело? Производную ЧЕГО мы будем рассматривать? Слово производная достаточно емкое, чтобы увести нас в бытовые или философские дебри и остаться там навсегда. Правильный ответ такой: Мы имеем дело с объектом ФУНКЦИЯ, и рассматривать будем производную функции. Что такое производная? Это некоторая характеристика функции, дающая нам возможность посмотреть на функцию, как на изменяющийся (во времени) объект. То есть это динамическая характеристика, причем одна из многих. Нас может не интересовать значение производной или ее поведение для решения многих задач, в таком случае мы воспользуемся другими характеристиками функции. Но необходимо помнить, что каждая характеристика описывает исходный объект: ФУНКЦИЮ. Набор характеристик может достаточно подробно описать саму функцию, но полное описание функции возможно только при условии аналитического задания функции (при помощи формулы).
Итак, поскольку производная является лишь одной из множества характеристик объекта функция, то в ней заложена лишь часть информации о самой функции. Что это значит? Это значит, что если мы знаем производную некоторой функции, то мы не можем точно сказать от какой функции она была взята, поскольку разные функции могут иметь одинаковые производные. Но сейчас нам это и не нужно. Давайте разберемся, как получать производную от функции. Для этого необходимо задать саму функцию.
Пусть у нас есть явно заданная функция в виде зависимости y от x:
y=f(x), (1)
где x является переменной, а y принимает значения функции.
По определению производной функции y в точке x0 называется выражение
. (2)
Посмотрим, как применить эту формулу для простейших функций.
Самая простая непостоянная функция, которая приходит в голову, это f(x) = x , где в каждой точке значение функции совпадает со значением аргумента функции, то есть y=x. Построим график. Для этого есть несколько способов. Самый простой, не требующий специального анализа функции, - по точкам: найти несколько точек, через которые проходит график функции и потом соединить плавной линией. В нашем случае это сделать очень просто, но еще проще и быстрее будет посмотреть на вид функции и сказать, что графики у функций такого вида, а именно f(x)=kx+b (в нашем случае k=1, b=0), являются прямыми линиями. И вспомним, сколько точек нужно для построения прямой? Правильно! Всего 2 точки. Возьмем точку с координатой x=0. Как найти значение функции в этой точке? Подставив, значение x в формулу (1). Делаем это и получаем y(0)=f(0)=0. Итак, первая точка имеет координаты (0;0). Аналогичным образом найдем координаты второй точки, скажем для x=1, получим (1;1). На всякий случай выпишем значения в табличку:
Точки найдены, откладываем координаты на графике, ставим точки и проводим через них прямую линию. Получили график функции.
Найдем значение выражения под знаком предела в формуле (2) (f(x)-f(x0))/(x)-x0) для двух произвольных точек. Возьмем базовую точку x0=1, а вторую точку на единицу больше: x=x0+1=2. Вычисляем:
- Знаменатель вычисляется легко – он равен расстоянию между двумя точками по оси абсцисс: x-x0=(x0+1)-x0=2-1=1
- Для вычисления числителя мы должны знать значения выражений f(x0) и f(x). Это значения функции в данных двух точках. Поскольку в нашем случае f(x)=x, то
f(x0)=f(1)=1,
f(x)=f(x0+1)=f(2)=2,
Таким образом, (f(x)-f(x0))/(x)-x0)=(2-1)/1=1/1=1. Это мы посчитали значение выражения под знаком предела в формуле (2) в двух конкретных точках. Будет ли число 1 производной функции в точке 1? Пока точно сказать этого нельзя, поскольку мы не совершили предельный переход, то есть не устремили точку x к точке x0 , так чтобы расстояние между ними бесконечно сокращалось. И в общем случае значение выражения под знаком предела, посчитанное в двух точках, будет отличаться от значения производной. Но давайте посмотрим, что произойдет, если мы отступим от базовой точки не на 1, а на 0.5. Вычисляем:
x0=1,
x=x0+0.5=1.5,
f(x0)=f(1)=1,
f(x)=f(x0+0.5)=f(1.5)=1.5,
x-x0=1.5-1=0.5,
(f(x)-f(x0))/(x)-x0)=(1.5-1)/0.5=0.5/0.5=1
Видим, что значение не изменилось. Если еще уменьшим расстояние между точками по оси абсцисс, то расстояние между значениями функции в этих точках уменьшится на такую же величину, и при делении снова получим 1. Делаем вывод, что значение выражения (f(x)-f(x0))/(x)-x0) не зависит от расстояния между точками, и следовательно, предельный переход не изменит картины: значение останется равным 1, то есть можно смело утверждать, что производная функции в точке 1 равна 1.
Производная - часть 2
Интеграл
|
|
|
| |
|
Добавить в избранное
RSS-подписка на Блог
