06.02.2007
|
Производная - часть 2
|
Теперь найдем производную для функции f(x)=2x. Эта функция, как и f(x)=x, на графике отображается прямой линией. Поэтому, опять берем 2 точки и записываем значения в табличку:
Точки найдены, откладываем координаты на графике, ставим точки и проводим через них прямую линию. Получили график функции. Как видно наклон увеличился, теперь при изменении аргумента на 1, значение функции увеличивается на 2, то есть функция увеличивается в 2 раза быстрее, чем в предыдущем случае
Как этот факт отобразится на значении производной? Сейчас выясним. Для этого повторим рассуждения из первой части и получим следующие результаты:
f(x0)=f(1)=2,
f(x)=f(x0+1)=f(2)=4,
Таким образом, (f(x)-f(x0))/(x)-x0)=(4-2)/1=2/1=2.
Как и в предыдущем случае, после предельного перехода значение выражения не меняется и, значит, производная равна 2.
Какая закономерность просматривается? При умножении функции f(x) = x на 2 производная тоже умножилась на 2. Отсюда можно предположить, что при умножении функции на произвольное число k производная увеличится в k раз. Это действительно так, что легко проверить, повторив все рассуждения для функции f(x) = kx.
Выпишем некоторые результаты для разных значений k:
f(x) = 3x => f’(x) = 3,
f(x) = 1000x => f’(x) = 1000,
f(x) = 1000001x => f’(x) = 1000001,
f(x) = -2x => f’(x) = -2,
f(x) = x/5 => f’(x) = 1/5,
f(x) = 0.333333x => f’(x) = 0.333333.
Теперь вопрос: как все эти вычисления связать с жизнью и не запутаться в вычислении таких вот простейших производных? Для ответа проведем следующую аналогию:
Предположим, у меня есть стакан семечек и я не спеша, прогуливаюсь по улице. При этом за час я прошел аж целый километр. Попытаемся отобразить эту информацию на графике. Ось x пусть обозначает время в часах, а ось y пройденное расстояние в километрах. Тогда мое передвижение можно изобразить прямой линией от точки (0;0) до точки (1;1), то есть я начал движение в 0 часов, когда пройдено было 0 км, а закончил через 1 час, на расстоянии 1 км от исходной точки. Разумеется, я предполагаю, что двигался я равномерно, и например, через полчаса прошел пол-километра.
Мы уже знаем, что такой график имеет функция f(x) = x, и ее производная в любой точке равна 1. Вспомним, как мы находили производную: брали разницу по y и делили на разницу по x, но в нашем случае это будет расстояние, поделенное на время. 1 км делим на 1 час и получаем скорость движения 1 км/час. Таким образом, производную функции можно трактовать как скорость изменения этой функции.
Давайте придумаем физические аналогии для вышеуказанных функций:
1) f(x) = 3x => f’(x) = 3 – скорость побольше, чем со стаканом семечек, допустим, я выгуливаю собаку, и она тянет меня вперед, увеличивая скорость движения;
2) f(x) = 1000x => f’(x) = 1000 – скорость 1000 км/час, кто у нас такой быстрый? Например, Палубный многоцелевой истребитель F-14 "Томкэт", у которого крейсерская скорость - 740-1000 км в час;
3) f(x) = 1000001x => f’(x) = 1000001 – вычисляем: 1000001 км/час приблизительно равно 278 км/сек, что близко по скорости движению Солнечной системы, скорость которой определена примерно в 300 км/сек
4) f(x) = -2x => f’(x) = -2 – что за глупость отрицательная скорость!? На самом деле это я со стаканом семечек ускорил в 2 раза движение, НО пошел в обратном направлении;
5) f(x) = x/5 => f’(x) = 1/5 – это практически 200 метров в час, кто у нас такой медленный? А вот кто! Плавающая ледорезная машина ЛФМП-1, со скоростью прорезания 200-600 м/час;
6) f(x) = 0.333333x => f’(x) = 0.333333 – ну и наконец, 300—350 м/ч, с такой скоростью отважные альпинисты спускались с Эльбруса.
И напоследок рассмотрим еще два простых случая:
1) f(x) = 0 - передвижения нет, я уселся на лавочку и щелкаю семечки, не сходя с места, скорость, соответственно, равна нулю;
2) f(x) = 3x + 5 – это собака утащила меня за пять километров от начала движения, дала передохнуть и снова рванулась вперед; то есть точка отсчета переместилась, но изменилась ли при этом скорость? Ответ отрицательный: скорость осталась прежней, добавление пятерки к функции прошло незамеченным для ее производной.
Из всего вышесказанного можно сделать следующий вывод:
Производная функции f(x) = kx+b, равна величине k, не зависит от значения b, и обозначает скорость изменения функции с изменением аргумента x, или просто скорость изменения функции.
Производная - часть 1
Интеграл
|
|